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[科教] 刻舟求鱼讨论大总结

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发表于 1-2-2017 12:09 AM | 显示全部楼层 |阅读模式

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《 刻舟求鱼 (配图)》这篇2016年底的博文在科学网引发了热烈的讨论,到2017年元旦节日大家还在切磋。参加实质讨论的博主包括(但不限于)马红孺(上海交通大学教授), 尤明庆 (河南理工大学教授),张海涛 (物理专业),姬扬 (中国科学院半导体研究所研究员),文克玲(清华大学物理系),王虹宇(鞍山师范学院教授),张云 (湖南第一师范讲师),应行仁 (系统科学与系统工程),徐晓 ,李铭(凝聚态物理),温海龙(保定市农业科学研究所)(这个名单顺序任意收集),真可谓专家云集、盛况空前。国外也有物理专业人士参与评论。这么多对物理力学感兴趣的学者聚集在一起,真得感谢科学网给我们提供了这个平台。我应该是对相关讨论进展情况比较熟悉的,所以我做一个总结。

一. 刻舟求鱼问题及定性物理图像

一个人在小船上从船尾跳到船头,并且设水对船的阻力正比于船的速度,忽略空气阻力,船最后停在何处?这是刻舟求鱼的问题描述。

人在空中时,船往后退,但是由于期间船受到阻力,动量减少,人落到船头后,船又往前走。这是一个定性的物理图像。

问题是,船这个后退再前进的过程中到底走了多远,光从上面这个物理图像是无法定量判断的,需要根据外力运用牛顿力学进行计算。在我们的问题里,船受到的阻力为 f=?k vb,ss k 为常数, vb

为船速。伽利略曾说自然的语言是数学,有了这个给定的力的形式,下面的任务是运用 F=ma 算出结果。

有的同学说,实际水阻力形式很复杂,有无穷多未知因素,f=?kvb

不成立;人从后跳到前面,船吃水深度变化,阻力系数不同,等等。我的回应是,如果会算这个问题就算,先走再跑。我在 《刻舟求鱼之实验验证 (配图)》讲了,问题这么写只是为了生动点。薛定谔猫是为了生动,没有人会以为一只整猫会有量子效应。我可以把船造成完美的流线型,船远远 重于人,固定在水平导轨上, 船上下不能动,人用滚动的重球代替,等等。所以,纠缠题目本身没有意义。你如果说大鱼游过来把小船顶翻了,或者说船速太快,阻力不确定等等,还不如干脆老实承认不会用牛顿第二定律计算这个给定问题的结果。


牛顿早就发现在低速时,液体的粘滞阻力正比于速度。这种阻力正比于速度的关系在物理里经常出现。朗之万方程与这个问题里遇到的方程非常类似,但加了个随机的外力。船上蹦蹦跳跳只是娱乐,如果能对解决其他物理问题提供基础,意义就来了。所以,这是一个有现实物理意义的问题。

二. 刻舟求鱼的牛顿第二定律

知道外力,知道牛顿第二定律,我们的任务就是正确运用了。牛顿在300多年前告诉我们,系统的动量变化(率)等于外力。令人与船的总动量为 p=pren+pboat,根据 Newton's second law:

dpdt=?k vb=?kdxbdt

其中xb(t)是船的坐标。因此,dp=?k dxb.

两边积分,得出对于任意时间 t,sp(t)?p(0)=?k(xb(t)?xb(0))初始条件是,时间为0, 船坐标 xb(0)=0。当 k 不为零,xb(t)=?p(t)/k。

最终人船静止, p=0。因此,最终 xb=0. 也就是说船回到原处。

从这个推导可以看出,其实这个最终结果与人的运动过程无关,是跑也好,跳也好,爬也好,来回兜圈子也好,最终船都会回到原处。这包括人跳到船头又跳回船尾的情况。当然,既然从后面跳到前面船最终复位,再跳回来也会复位。

对牛顿第二定律不熟悉的同学可能对上面的方程存在疑问,想把人、船单独考虑,当然结果是一样的。设人对船的作用力是 Frb(t),ss 那么根据牛顿第三定律,船对人的作用力 Fbr(t)=?Frb(t),我们列出人与船的方程:


人:mrdvrdt=Fbr(t)船: mbdvbdt=Frb(t)?kdxbdt

初始条件: vb(0)=vr(0)=0,xb(0)=0.

对上面的方程对时间积分,我们有得出:

mrvr(t)=∫t0Fbr(t)dt,ss

mbvb(t)=∫t0Frb(t)dt?kxb(t)方程想加,并利用 Fbr(t)=?Frb(t),得出:

mrvr(t)+mbvb(t)=?k xb(t).

最终人船静止,上面方程左边为零,得出

kxb=0.

k 不为零,则 xb=0。

注意,上面人-船之间的相互作用过程(只要最终人船合一)完全是任意的,狄拉克δ

函数式瞬间起跳着船也好,弹簧牵着慢慢上升降落也罢,最终结果都是船回原处。

三. 瞬间起跳降落的计算

上面的结果对于任意过程都是适用的,但是我们并不知道船位置与时间的关系。这如同中学物理里计算一个球从一个无摩擦弯曲轨道上滑下,你能根据从高度计算球到达某一点的速度,但不知道达到这一点的时间。对于人+船的问题,要计算船的位置随时间的变化,我们必须知道人船之间相互作用的形式。最简单的形式就是瞬间起跳,瞬间着船。读者可能说,瞬间起跳,速度在零时间内变成有限,加速度无穷大,力无穷大,而人腿肌肉产生的力量是有限的,不可能。那么,把人装在弹射器里弹出去吧,要是加速大太大,人扛不住,换上只 chicken 好了。或者,这个人是钢筋铁骨、脚上装着强力弹簧。记住,这个问题说人在船上跳的问题只是为了生动。如果还说,再怎样力也不是无限大。我们只能说,你可以用一个更为实际的模型算。为了简化计算起见,正如Apple79 博士在黄秀清博文下首次指出,我们假定冲量是狄拉克 delta 函数 。


瞬时起跳着陆的计算是简单的两步代数。计算结果在 《刻舟求鱼之蛮力计算 (配图)》(T为滞空时间,t 为着船后时间)。

xb(t)=?mbV0k(1?e?kT/mb)e?k t/(mb+mr)正如 apple79 博士在评论中指出,上面的结果只有一个时间尺度 M/k。这是问题中唯一可以用于判断时间长短的量。

这个计算里用到了起跳前后瞬间、着船前后瞬间的动量守恒。这是一个显然的事情。系统动量的变化等于 外力的冲量。作用时间为零,外力(船受到的阻力)有限,因此外力冲量为零。

mbdvbdt=Iδ(t?T),ss

mrdvrdt=?Iδ(t?T)?kvb

从 t=T??,ss 到 t=T+? 积分, 取 lim?→0,mbvb(T+?)?mbvb(T??)=I,ss

mrvr(T+?)?mrvr(T??)=?I.

因此,mbvb(T+?)+mrvr(T+?)=mbvb(T??)+mrvr(T??)。

四. 目前的状况总结

马红孺老师把这道题拿去给高一学生解决,有多人差不多得到了小船复位的结果,说明学生对这个题是理解的。张海涛读高中的公子也算出复位的结论。我还收到一个科学网学生读者的电子邮件,也得到了同样的结果。

根据我的综合,目前科学网马红孺、张海涛、尤明庆、李铭等先后接受了上面(二)的一般性推导与结果。姬扬 、文克玲、王虹宇、张云 部分或有保留地认可了上面(三)的特殊结果。姬扬 构造了一个变阻力系数模型并进行了分析。张云使用持续冲力而不是瞬间作用计算,开始似乎得到船不能复位的结果。后来重新计算,发现漏掉了人船作用期间的船运动的距离。

徐晓经过多次计算,最终得出(三)的结果,但他分析认为如果考虑有限作用时间,则船不能复位。从我们上面(二)看出,如果结果没有复位,肯定计算错误。

黄秀清似乎不认可上面的全部结果,但未给出任何计算。黄秀清提出一个“新颖”观点,认为需要考虑水对船的的“静摩擦力”。

至此,科学网物理专业的人士除黄秀清外基本达成一致。

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发表于 1-2-2017 12:30 AM 来自美国米群网手机版 | 显示全部楼层
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发表于 1-3-2017 12:25 PM 来自美国米群网手机版 | 显示全部楼层
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