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[科教] 上帝教人掷骰子——“神童”帕斯卡与概率论

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发表于 3-22-2017 08:16 AM | 显示全部楼层 |阅读模式

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概率和统计作为数学领域的一个重要分支,早已渗透到人们的工作和生活当中,小到人人都可以买到的彩票,大到如今热度不减的各种大数据,其中都蕴含了概率与统计的诸多内容。

该系列文章,旨在尽可能地跳出让很多人“望而生畏”的数学公式,用平铺直述的话语将概率与统计中一些生涩的概念转为公众更容易理解的实际案例,让公众了解事物背后关于概率与统计的问题。

首先,以我们熟知的骰子起始。

骰子,算是一种最古老的赌具,据说人类在五千年前就开始使用它。骰子最早由埃及人发明,但在四大文明古国的历史中大概都有独自发明类似物件的记载。不过,人类将这骰子甩来抛去掷了几千年,却没有明白其中深藏的数学奥秘,直到距今四百多年前……

十七世纪的法国数学界

十七世纪,从意大利开始的文艺复兴运动已经席卷整个欧洲,也波及到了法国,带来了科学与艺术的蓬勃发展和革命。法国乃数学之邦,该领域人才济济,群星璀璨。

如今我们熟悉的笛卡尔,就是那位以“我思故我在”而闻名的先贤,人称现代哲学之父及解析几何的奠基人,便于1596年出生在法国北部。

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图1:梅森学院的部分数学家

勒内·笛卡尔(René Descartes,1596-1650)的家乡是一个美丽的花园小城。他的父亲是当地的一个议员,母亲在他1岁多时因肺结核去世,并将这个当时被列为不治之症的疾病传染给了他,因此,这个贵族家庭对体弱多病的笛卡尔宠爱有加。

而布莱兹?帕斯卡(BlaisePascal,1623-1662)诞生在法国中部一个叫克莱蒙费朗的小城市中的一个小贵族家庭。帕斯卡比笛卡尔小了27岁,但两位数学家的童年却有不少共同之处:母亲早逝、父亲富有、身体羸弱、智力过人。

不仅仅是童年生活,两位学者的学术生涯也有不少共同点:都是兴趣广泛、博学多思。他们除了在许多科学领域作出杰出贡献之外,在人文和哲学方面也都取得了非凡的成就。并且,在成名之后,笛卡尔和帕斯卡两人都不约而同地选择了半隐居式的生活。

帕斯卡于39岁时在巴黎英年早逝,笛卡尔活得也不长,这位“现代哲学之父”之死也颇具传奇性。笛卡尔原本是企图追求“安宁和平静”的隐居生活,平生习惯“睡懒觉”,躲在暖和的被窝里思考数学和哲学问题。据说他的解析几何坐标概念之灵感就是在作了“三个奇怪的梦”之后得来的。

然而,晚年的笛卡尔却被瑞典的克里斯汀女王看中,要笛卡尔给她讲哲学晨课。女王喜欢早起,可怜的半老不老的笛卡尔只好违背他多年的作息习惯,每天早上五点爬起来给女王上课,最后终是适应不了北欧严酷多雪的冬天,于1650年罹患肺炎,一命呜呼了!

谈及十七世纪的法国数学,不可不提当年那位举足轻重的人物:马兰·梅森(Marin Mersenne,1588-1648)【1】。梅森也是一位数学家,但他的贡献主要不是在学术方面,这方面能列得出来的只有一个“梅森素数”,而他的主要贡献还在于“组团”,也就是人们熟知的“梅森学院”。

梅森出身于法国的农民家庭,不是贵族的他却成了许多爱好科学的贵族间的联系纽带。梅森少时毕业于耶稣会学校,是笛卡尔的同校学长,于1611年进入修道院,成为天主教的一名教士。1626年,他把自己在巴黎的修道室,办成了科学家们的聚会场所和交流信息中心,称为“梅森学院”。这个联系和组织人才的“科学沙龙”,实际上是后来开明君王路易十四所创建并给予丰富赞助的“巴黎皇家科学院”的前身。因此,梅森为法国科学(特别是数学)的发展作出了巨大的贡献。

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图2:1666年,柯尔贝尔向路易十四引荐皇家科学院成员【2】。

梅森见多识广、才华不凡,又性格随和、平易近人,在其身边聚集了一批优秀的学者定期到修道室聚会。此外,当时的梅森科学沙龙,还经常以通信的方式互相联系,或单独与梅森联系,报告、交流新的研究成果和思想,因此人们称它为“移动的科学刊物”。梅森去世后的遗产中留下了与78位学者的珍贵信函,其中包括笛卡尔、伽利略、费马、托里拆利、惠更斯等欧洲各国多个领域的科学家。例如,笛卡尔有20多年隐居荷兰,在那儿完成了他的哲学、数学、物理学、生理学等领域的许多主要著作,在此期间只有梅森定期与他保持通信联系。

生活在法国南部的著名律师和业余数学家皮埃尔·费马(Pierre de Fermat,1601-1665)也是通过书信的方式与梅森及其他数学同行保持联系,他的不少数学成果都是在这些书信中诞生的。

还有荷兰人克里斯蒂安·惠更斯(Christiaan Huygens,1629-1695),他也是著名的物理学家、天文学家和数学家。他曾经师从笛卡尔,后来又通过书信交流成为梅森学院重要成员。梅森去世后,巴黎皇家科学院成立,惠更斯首任院长,滞留巴黎近二十年。

神童帕斯卡

才华横溢的帕斯卡参加到梅森学院聚会时年仅十四岁,而当时的笛卡尔却已经过了不惑之年。然而,身世相仿的两人关系却并不融洽,反倒似有些嫉妒的阴影掺杂其中。

帕斯卡在他11岁那年创作了一篇有关身体振动发出声音的文章,使得懂数学的父亲提高了警惕,禁止儿子15岁前继续深研数学知识,以免他荒废拉丁文和希腊文的学习。但有一天,12岁的帕斯卡用一块木炭在地板上画图,发现了欧几里德几何的第32命题——三角形的内角和等于两直角。从那时起,父亲改变了对儿子的想法,让小帕斯卡继续独自琢磨几何问题,并随后带他旁听梅森修道院每周一次的聚会【3】。

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图3:帕斯卡研究几何和物理

帕斯卡16岁时写了一篇被称作神秘六边形的短篇论文“圆锥曲线专论”。文章中证明了一个圆锥曲线内接六边形的三对对边延长线的交点共线,这个结论现在被称为“帕斯卡定理” (见图3a)。文章寄给梅森神父后得到众学者的极大赞赏,只有笛卡尔除外。

彼时的笛卡尔不常亲临巴黎的聚会,但看了帕斯卡的手稿后,一开始拒绝相信这个手稿出自一个16岁少年之手,认为是他的父亲所写。后来,尽管梅森再三保证这是小帕斯卡的文章,笛卡尔仍然不屑一顾地耸耸肩膀,表明没什么大不了的。但实际上,帕斯卡定理对射影几何早期的发展起到了很大的推动作用,向人们展示了射影几何深刻、优美、直观的一面。

帕斯卡也喜欢研究物理问题,针对真空及大气压的性质进行实验。十七世纪40年代,伽里略的弟子托里拆利(EvangelistaTorricelli,1608-1647)发明了用水银柱测量气压的方法,确定大气压强使得水银柱上升约76厘米。实验结果激发了当时的物理学家们思考和讨论大气压力及空气重量的问题。

年轻的帕斯卡首先重复了托里拆利的试验,继而进一步猜测:如果将气压计放在一个高高的塔顶上,水银柱上升的高度会因空气更为稀薄而比76厘米要低,而空气再稀薄下去便是“真空”。帕斯卡计划用实验来证实他的这些想法。1647年,正好笛卡尔难得地来到巴黎并拜访了这位小天才,据说这是两人唯一的一次会晤。笛卡尔同意帕斯卡的部分观点,但却对真空是否存在问题的实验和研究不以为然,笛卡尔认为真空不存在,也不能用实验来验证,之后还对其他人嘲笑帕斯卡,说他“头脑中的真空太多了!(has too much vacuum in his head.)”【4】。不过,在那次会面中,年轻的帕斯卡也不服输,更不畏惧笛卡尔的权威,批驳了笛卡尔的某些哲学观念,帕斯卡认为:“心有其原因,原因不知道(Weknow the truth not only by the reason, but by the heart.)”【5】。

就在二人会晤的第二年,1648年9月19日,帕斯卡的姐夫在多姆山上按照帕斯卡的设计进行了气压计实验。实验证明在山脚和山顶水银柱的高度相差一个不小的数目:3.15英寸!帕斯卡自己则在巴黎的一个52米高的塔顶上重复了类似的实验(见图3b)。实验成功地证实了帕斯卡关于水银柱高度随着海拔高度的增加而减少的猜测,震动了科学界。后人为纪念帕斯卡的贡献,将气压的单位用“帕”(帕斯卡的名字)来命名。

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图4:帕斯卡原理和帕斯卡计算器

之后几年,帕斯卡做了一系列物理实验,研究液体压强的规律,不断取得新发现,并有多项重大发明。帕斯卡总结了这些实验,于1654年发表论文《论液体的平衡》,并提出了著名的帕斯卡定律:密闭液体任一部分的压强,将大小不变地向液体的各个方向传递。如图4a所示,左边是面积A1较小的活塞,右边液面的面积是左边的10倍(A2 =10A1 ),如果在左边的活塞上施加一个不太大的力F1,因为压强P可以大小不变地通过液体从左边传递到右边(P1 =P2),就将在右边液面得到一个比F1大10倍的升力( F2 =P2A2= 10 F1 )。这个如今看来十分简单的原理成为液压起重机以及所有液压机械的工作基础。

说到重大发明,不可忽略帕斯卡设计的计算器,那是帕斯卡在未满19岁时为了减轻他父亲重复计算税务收支而创造的一项发明。虽然巨大笨重、难以使用,且只能作加减法,但却可以列为最早确立计算机器概念的机械计算器之一,也算得上如今人们手中的计算机之老祖宗了(图4b)。

不仅如此,帕斯卡对数学还有一个大的贡献:与费马一起开拓了概率论这一数学分支。

概率论的诞生

十七世纪欧洲的贵族盛行赌博之风,法国有一位叫德·梅雷的贵族,在掷骰子的游戏之余,也思考一点相关的数学问题,苦思不得其解时,便向帕斯卡请教。

1654年,他向帕斯卡请教了一个亲身经历的“分赌注问题”。故事大概如此:梅雷和赌友各自出32枚金币,共64枚金币作为赌注,双方以掷骰子为赌博方式:如果结果出现“6”,则梅雷赢1分;如果结果出现“4”,则对方赢1分。双方谁先得到10分,谁就赢得全部赌注。赌博如此进行了一段时间,梅雷已得8分,对方也得了7分。但这时,梅雷接到紧急命令,要立即陪国王接见外宾,只好中断赌博。那么问题就来了:这64枚金币的赌注应该如何分配才合理呢?

这个问题实际上在十五、十六世纪时就已经被提出,称之为“点数分配问题”。意思是说,当一场赌博半途中断的情况下,应该如何分配赌注?人们提出各种方案,但未曾得到公认的合理答案。

就上面梅雷和赌友的例子。将赌注原数退回显然不合理,没有考虑赌博中断时的输赢情况,相当于白赌了一场;将全部赌注归于当时的赢家也不公平,比如当时:梅雷比对方多得一分,但他还差2分才赢,而对方差3分,如果继续赌下去的话,对方也有赢的可能性。

帕斯卡对这个问题十分感兴趣。直观而言,上述两种方案显然都不合理,赌博中断时的梅雷应该多得一些,但究竟应该如何分配呢?也有人建议以当时两人比分的比例来计算:梅雷8分,对方7分,那么梅雷得全部赌注的8/15,对方得7/15。这种分法也有问题,比如说,如果甲乙双方只赌了一局就中断了,甲赢得1分,乙得0分。按此分法,甲将拿走全部赌注,显然也是不合理的。

帕斯卡直觉地意识到,中断赌博时赌注的分配比例应与当时的输赢状态与双方约定的最终判据之距离有关。比如说,梅雷已经得了8分,距离10分的判据差2分,赌友7分,还差3分到10分。因此,帕斯卡认为需要研究从中断赌博那个“点”开始,如果继续赌博的各种可能性。为了尽快地解决这个问题,帕斯卡以通信的方式与住在法国南部的费马(Pierrede Fermat)讨论【6】。费马不愧是研究纯数学的数论专家,很快列出了“梅雷问题”中赌博继续下去的各种结果。

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图5:费马和帕斯卡对点数分配问题的思路

梅雷原来的问题是掷骰子赌“6点”或“4点”的问题,但可以简化成抛硬币的问题:甲乙两人抛硬币,甲赌“正”,乙赌“反”,赢家得1分,各下赌注$10,先到达10分者获取所有赌注。如果赌博在“甲8分、乙7分”时中断,问应该如何分配这$20赌注?图5a显示了费马的分析过程:从赌博的中断点出发,还至多需要抛4次硬币来决定甲乙最后的输赢。

这4次随机抛丢或产生16种等概率的可能结果,如图5a中最右侧所列。因为“甲赢”需要结果中出现2次“正”,“乙赢”需要结果中出现3次“反”,所以,在16种结果中,有11种是“甲赢”,5种是“乙赢”。换言之,如果赌博没有中断,而是从中断点的状态继续到底的话,可以如此算出甲赢的概率是11/16,乙赢的概率是5/16。赌博的中断使得双方按照这种比例失去了最后赢得全部赌注的机会,但按此比例来分配赌注应该是合理的方法。所以,根据费马的分析思路,甲方应该得$20×11/16=$13.75,乙方则得剩余的,或$20×5/16=$6.25。

帕斯卡十分赞赏费马思路之清晰,费马所得的结果也验证了帕斯卡自己得到的结论,虽然他用的是完全不一样的方法。帕斯卡在解决这个问题的过程中提出了离散随机变量“期望值”的概念。期望值是用概率加权后得到的“期望”的平均值。如图5b所示,帕斯卡计算出从甲方的观点,“期望”能得到的赌注分配为$13.75,与费马计算的结果一致。

期望是概率论中的重要概念,期望值则是概率分布的重要特征之一。它常被用在与赌博相关的计算中【7】。例如,赌场轮盘上有38个数字,每一个数字被选中的概率都是1/38。赌注(比如$1)押在其中一个数字上,如果押中,顾客得到35倍的奖金($35),否则赌注被赌场所得。藉此,我们可以计算顾客“赢”的期望值。

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图6:轮盘对赌徒而言的期望值

图6显示了计算结果是一个负数:约等于-0.0526美元。也就是说,平均起来顾客每赌1美元就会输掉5美分,所以,赌场永远不会亏!

从研究掷骰子开始,帕斯卡不仅仅引入了期望的概念,还发现了帕斯卡三角形(即杨辉三角),虽然杨辉早于帕斯卡好几百年,但是帕斯卡将此三角形与概率、期望、二项式定理、组合公式等等联系在一起,与费马一起为现代概率理论奠定了基础,对数学作出了不凡的贡献。1657年,荷兰科学家惠更斯在帕斯卡和费马工作的基础上,写成了《论赌博中的计算》一书,被认为是关于概率论的最早的系统论著,但人们仍然将概率论的诞生日定为帕斯卡和费马开始通信的那一天——1654年7月29日。

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图7:帕斯卡三角

参考文献:

【1】Marin Mersenne, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Marin_Mersenne

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【3】Blaise Pascal, Wikipedia,https://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal

【4】http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Pascal.html

【5】http://www.leaderu.com/apologetics/pascalmethodology.html

【6】Keith Devlin, The Unfinished Game: Pascal, Fermat,and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern, Basic Books,2008. “FERMATAND PASCAL ON PROBABILITY” https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/pascal.pdf

【7】Edward Packel, The Mathematics of Games andGambling, Mathematical Association of America, 2006.

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新米人

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发表于 3-22-2017 08:23 AM | 显示全部楼层
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