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[科教] 数学家如何做到“十赌十赢”?

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发表于 4-17-2017 04:05 PM | 显示全部楼层 |阅读模式

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数学家如何做到“十赌十赢”?

赌场不怕你赢,就怕你不来,因为赌场游戏基本都是“久赌必输”。很多玩家迷信“运气”,而经营赌场的人相信概率,这就是输家和赢家的差别。

赌场应该怎么玩?

例如轮盘赌(见下图),博彩中玩家可以押任何一个数字,如果转盘上的小球正好停在这个数字上,赌场赔35倍。听着很诱人对吧?电影《卡萨布兰卡》中那个从欧洲逃难出来的小青年接连押中几手22,去美国的旅费就有了。实际情况如何呢?我们来简单分析一下。

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如果只有1-36这36个数字,那么玩家每次押1元,平均每36把赢一次,赢的35元正好抵消另外35把输的钱。但赌场在轮盘左边加了个“0”,玩家的赢面变成了1/37,赢的35元不足以抵消另外36把输的钱,赌场占据了1/37 = 2.70%的概率优势,也就是说玩家每押100元,平均要输2.7元。

这还是“仁慈”的欧洲式轮盘赌,美国人觉得还不够黑,又加了个“00”。现在平均38把押中一次,玩家的劣势扩大了到5.3%。

除了押单个数字,轮盘赌还有押红黑等其他玩法。无论是1赔35的单个数字,还是1赔1的押红黑,赌场的赢面都一样。但两者之间仍有个重要差别:押单个数字的输赢波动显然比押红黑大的多。

此处先简单提一句:赢面和波动性是赌博和投资中极为关键的两点。 “久赌必输”的赌博最好不要碰,实在要玩就挑输赢波动性大的;“久赌必赢”的投资则应该选波动性小的。关于这个原理,后文将详细讨论。

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回到赌博,绝大部分赌场游戏都设计的和轮盘赌类似:

赌场拥有概率优势。这些游戏中,玩家如果只玩几手还可能靠“运气”赢点钱,长期玩下去几乎必输,数学中称之为“大数定理”(Law of Large Numbers)。

然而赌场机关算尽,还是被数学家找到了一处破绽。

赌博天才横世出

1960年代初,一位名叫索普(Edward Thorp)的美国数学家利用刚出现不久的计算机找到了21点游戏中的机会,发展出一套通过计牌(card counting)打败赌场的方法。索教授理论付诸实践,用自己的计牌法连连大胜赌场,很快上了黑名单,眼看赌不成了,于是索某人干脆就写了一本书!

然后大彻大悟,上华尔街发财去了,后来又在对冲基金领域闯出了一片天地。索某达人也!

这本书就是《战胜庄家》(Beat the Dealer)——狂销70万册,荣登《纽约时报》畅销书榜。

这就是成为当时赌徒们最爱看的一本书了。

索普计牌法的原理并不难。

先讲讲21点的规则:玩家和庄家(赌场)对赌,看谁手中牌的点数之和更接近(但不能超过)21点。 10,J,Q,K都算十点,2至9 按各自点数计算,A可以算1点也可以算11点。例如下面的一手牌可以算8点,也可以算18点。

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牌局开始,玩家和庄家各发两张牌,庄家的牌一明一暗(例如下图)。然后玩家先做决定:

可以抓牌,做加倍等特殊行动,或在任何时候选择“停”。

如果玩家超过21点(爆牌)就直接输了,否则“停”后轮到庄家行动。庄家不能“见机行事”,只能按固定规则:手中的牌达到17点或以上必须“停”,否则必须抓。最后双方比谁的牌更接近21点。

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此外还有个特殊规定:一张A和一张十点牌(10,J,Q,K)叫“黑杰克”(Blackjack),拿到者直接取胜。如果玩家拿到黑杰克,可赢取1.5倍筹码。庄家拿到黑杰克只能赢取1倍筹码。

很明显,21点游戏中庄家和玩家各有优势。庄家的优势在“后发制人”:玩家如果先爆牌,庄家可以不战而胜。而玩家的优势在于灵活机动,可以根据自己的牌和庄家暴露的那张牌决定战术。

此外,黑杰克3:2的赔率也有利于玩家。

十点牌和A越多,出现黑杰克的机会越多,也越容易爆牌,玩家“机动灵活”的优势更有价值。反之,3,4,5,6等小牌越多,爆牌的可能性越小,对庄家比较有利。索普时代的21点多用1副或2副扑克牌,当牌刚洗好时,赌场占据0.5%左右的概率优势。妙处在于,随着牌局进行,某些时候大牌和A的比例会变高,概率会转为对玩家有利。索普战胜赌场的方法就是:

通过计牌估算概率,当形势有利时下大赌注!

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数学家是如何下注的呢?

形势有利时如何下注很需要技巧。 押太少了浪费机会,押太多了“牺牲”的风险大增。 什么才是不多不少的合适赌注呢? 1956年,科学家凯利(John Kelly)就此发表了论文,提出了著名的凯利公式

f* = (bp - q) / b

其中,f* = 投注金额占总资金的比例

p = 获胜的概率

q = 失败的概率,q = 1-p

b = 赔率,例如在轮盘赌中押单个数字,b = 35,押红黑,b = 1。

上文中讲到的21点下注问题,假设总赌本10,000美元,玩家取胜的概率是51%,赔率1:1(实际胜率和赔率略有偏差,但相距不大),那么凯利公式给出的最佳赌注是:

$10000 * (1 * 0.51 - 0.49)/ 1 = $200

我知道很多人看到数学公式就头大,但要玩好赌博和投资没法不用到数学。 最重要的不在于带公式计算数字,而是要弄明白公式背后真正的“意思”。

首先,公式中分子的bp - q 代表“赢面”,数学中叫“期望值”(expectation),凯利公式指出:正期望值的游戏才可以下注,这是一切赌戏和投资最基本的道理,也就是前面讲的“

没有把握,决不下注”。

其次,赢面还要除以“b”才是投注资金比例。 也就是说赢面相同的情况下,赔率越小越可以多押注。 这一点不容易直观理解,我们用个例子来说明。 下面三个正期望值的游戏,你看看选哪个:

1. ? ? ?“小博大”:胜率20%,赢了1赔5,输了全光。bp - q = 5*20% - 80% = 20%

2. ? ? ?“中博中”:胜率60%,1赔1。bp - q = 1*60% - 40% = 20%

3. ? ? ?“大博小”:胜率80%,1赔0.5。bp - q = 0.5*80% - 20% = 20%

三个游戏的数学期望值一样,都是20%,或者说押100元平均赢20元。 按大部分国人的赌性,恐怕会选“小博大”游戏吧? 但是用凯利公式中的“b”一除,“小博大”游戏只能押总资金的4%,“中博中”可以押20%,“大博小”可以押40%。 赢钱速度“大博小”快多了! ?前面不是讲过“久赌必赢的游戏应该选波动性小的”吗? 说的就是这个了。

现实中,爱玩“小博大”的多半是赌客。 谁爱玩“大博小”呢? 赌场! 华尔街的职业投资家们很多玩的也是“大博小”,因为便于使用杠杆(押大赌注)。

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最后,凯利公式指明了风险控制的至关重要性:

即便是正期望值的游戏也不能押太大的赌注。

从数学上讲,押注资金比例超过了凯利值,长期的赢钱速度反而下降,还会大大增加出现灾难性损失的可能性。 举个极端的例子,如果你每手都押上全部资金,那么不管你赢过多少钱,只要输一次就立刻破产。正所谓:辛辛苦苦几十年,一

夜回到解放前。

常言道:小赌怡情,大赌伤身。纵使是数学家也不可能永远都是胜利的。你认为呢?

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发表于 4-17-2017 04:36 PM 来自美国米群网手机版 | 显示全部楼层
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发表于 4-20-2017 10:34 AM 来自美国米群网手机版 | 显示全部楼层
楼主Ursula@CA帖子好赞~~~
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